汤家凤一题一方法第62题：利用对数平均与算术平均的不等式证明
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一、题目：利用对数平均与算术平均的不等式证明
(ln b − ln a) / (b − a) > 2 / (a + b)
本题是考研数学中经典的不等式证明题，核心考点是对数平均与算术平均的关系。
二、解题方法
方法：构造函数+单调性
将待证不等式等价变形：
(ln b − ln a)/(b − a) > 2/(a + b)
⇔ (a + b)(ln b − ln a) > 2(b − a)
⇔ (b + a)ln(b/a) > 2(b − a)
令 t = b/a > 1，上式化为：
(t + 1)ln t > 2(t − 1)
构造函数 f(t) = (t + 1)ln t − 2(t − 1)，求导得：
f'(t) = ln t + 1 + 1/t − 2 = ln t + (1/t − 1)
f'(1) = 0，当 t > 1 时 f'(t) > 0，故 f(t) 在 (1,+∞) 单调递增
所以 f(t) > f(1) = 0，原不等式得证。
三、方法点评
本题的关键在于两步转化：
① 将分式不等式等价变形，消去分母得到 (t+1)ln t > 2(t−1)；
② 令 t = b/a > 1 换元，构造一元函数，用单调性证明不等式。
这一方法在考研数学中具有普遍意义，适用于各类需要证明的正数不等式。
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